Вероятностно-статистические методы анализа точности обработки

В процессе изготовления деталей машин качество их и, в частности, точность размеров зависят от большего числа технологических факторов, влияющих в различной степени на точность обработки. Зависимости эти носят вероятностный (стохастический) характер. В теории вероятности и математической ста­тистики разработаны методы, с помощью ко­торых можно объективно оценить точностные характеристики реальных технологических процессов. Вероятностно-статистические ме­тоды используют для оценки точности техно­логических процессов, определения уровня на­стройки станков, оценки стабильности техно­логических процессов, определения ожидаемой доли брака, установления зависимости между точностными характеристиками смежных опе­раций и решения других задач.

Определение поля рассеяния, коэффициентов относительной асимметрии и относительного рассеяния погрешности обработки. Полем рас­сеяния размеров х (рис. 2) называется такой интервал m_x- ∆₁ ≤ х ≤ m_х + ∆₂ значений х, при котором вероятность Р появления детали с размером х, меньшим чем m_x- ∆₁ или боль­ше чем m_х + ∆₂, практически пренебрежимо мала, т. е. имеет место условие

P(x< m_x- ∆₁) = P(x> m_x + ∆₂) = q/ 2, (1)

где ∆₁ и ∆₂ — расстояния соответственно от нижней и верхней границ поля рассеяния до среднего значения m_х; q— вероятность выхода размеров за границы поля рассеяния (обычно принимают q= 0,0027).

Вводя в (1) выражения для дифференциаль­ного f(x) или интегрального F(x) законов рас­пределения, получим

;

F(m_x- ∆₁) = 1 - F(m_x+ ∆₂) = q/2. (2)

Половина поля рассеяния

∆ = (∆₁ + ∆₂) / 2. (3)

Для симметричных законов распределений ∆₁ = ∆₂ = ∆.

Для закона распределения случайной вели­чины х, область возможных значений которой не ограничена ни слева, ни справа, нижняя и верхняя границы поля рассеяния могут быть найдены, если известен интегральный закон распределения F(z) нормированной случайной величины Z = (x —m_x) / σ_xдля которой m_z = 0 и σ_z= 1. В данном случае m_x, m_z— средние значения случайных величин Xи Z; σ_x, σ_z — средние квадратические отклонения тех же величин. С учетом нормированного закона распределения F(z) уравнение (2) принимает вид

F(z₁) = q/2;

F(z₂) = 1 – q/2. (4)

Нижний Z₁ и верхний Z₂ квантили, отве­чающие уровням вероятности q/2 и 1 – q/2,

Z₁ = ∆₁ / σ_x; Z₂ = ∆₂ / σ_x. (5)

Для заданного уровня вероятности q= 0,0027 значения квантилей Z₁ и Z₂ опреде­ляются из (4). Если значения квантилей Z₁ и Z₂ известны, то по (5) величины ∆₁ и ∆₂ могут быть определены в долях среднего квадратического отклонения σ_x:

∆₁ = Z₁σ_x; ∆₂ = Z₂σ_x. (6)

На основании (3) с учетом (6) поле рассея­ния погрешности размеров, выраженное в до­лях σ_x,

2∆ = (Z₂ – Z₁)σ_x. (7)

Для сопоставления рассеяния при данном законе распределения с рассеянием при нор­мальном распределении применяют коэффи­циент относительного рассеяния

K = 3σ_x/∆ = 6σ_x / (∆₁ + ∆₂). (8)

Для закона ГауссаК = 1. Для одномо­дальных распределений, более островер­шинных, чем гауссовское (коэффициент эксцес­са γ₂ > 0), К < 1. Для одномодальных распре­делений, более плосковершинных, чем гауссовское (γ₂ < 0), значенияК > 1.

Несимметричность распределения отклоне­ний случайной величины относительно сере­дины ∆₀ поля рассеяния размеров характери­зует коэффициент относительной асимметрии

α = (m_x- ∆₀) / ∆. (9)

Так как

,

то (9) примет вид

. (10)

Для симметричных распределений α = 0. Для одномодальных распределений, имеющих положительный коэффициент асимметрии γ₁, среднее значение смещено к левой границе по­ля рассеяния (рис. 3,а). В этом случае ∆₂ > ∆₁ и согласно (10) имеем α < 0. Для одномо­дальных распределений, имеющих отрица­тельный коэффициент асимметрии γ₁, центр группирования смещен к правой границе поля рассеяния. При этом условии ∆₂ < ∆₁ и при­меняя (10), получаем α > 0 (рис. 3,б).

Подставляя (6) и (7) в (8) и (10), получим окончательные выражения для коэффициентов относительного рассеяния и относительной асимметрии:

. (11)

Определим ноле рассеяния 2∆ и коэффи­циентыК и α для закона распределения случайной величины X, область возможных значе­ний которой ограничена слева и справа (α = х_наим ≤ х ≤ х_наиб = b). В этом случае границы поля рассеяния принимают равнымиa и b, т. е.

m_x- ∆₁ = a; m_x + ∆₂ = b. (12)

При этих условиях вместо поля рассеяния пользуются широтой распределения L= 2l или 2∆ = L= 2l = b- a, где l — параметр закона распределения

Применяя (8) и (10) и учитывая (12), полу­чим

;

. (13)

Зависимость вероятного брака деталей от коэффициентов точности и настроенности техно­логических процессов. Точность геометриче­ских параметров детали обычно задает кон­структор; она количественно определяется полем допуска согласно чертежам или техни­ческим условиям. Поле допуска определяется интервалом значений размера х от х₀ - δ до х₀ + δ, где х₀ — координата середины поля до­пуска; δ - половина поля допуска (рис. 4). Тех­нологическая точность количественно опреде­ляется законом распределения суммарной по­грешности обработки.

Если задано поле допуска и известен закон распределения f(х) погрешности размера х, то доля вероятного брака

. (14)

где q₁, q₂ - вероятность выхода размеров за нижнюю и верхнюю границы поля допуска (доля брака); х₀ - координата середины поля допуска; δ - половина установленного поля допуска.

Вводя в (14) выражение для интегрального закона распределения F_z(z) нормированной случайной величины Z = (x- m_x) / σ_x. Получим

. (15)

Точность и настроенность технологическо­го процесса считаются идеальными, если поле рассеяния размеров совпадает с заданным по­лем допуска, т. е.

m_х - ∆₁ = х₀ - δ; m_х + ∆₂ = х₀ + δ. (16)

Отсюда вытекают требования к точности процесса и его настройки:

∆ = 3σ_х / К = δ; m_х = х₀ - ab. (17)

В этом случае доля брака не превышает 0,27%. Если поле рассеяния располагается вну­три пределов поля допуска, то это значит, что точность процесса завышена и является эконо­мически невыгодной. Если хотя бы одна из границ поля рассеяния выходит за пределы поля допуска, то доля брака увеличивается вы­ше допустимого значения, равного 0,27%.

Для сопоставления поля рассеяния с полем допуска применяют коэффициенты точности

. (18)

Для определения смещения уровня на­стройки технологического процесса исполь­зуют коэффициент настроенности процесса

. (19)

В случае идеальной точности и настроенно­сти процесса по (18) и (19) с учетом (17) полу­чаем η = 1, Е = а.

Зависимость вероятного брака qот коэф­фициентов η точности и Е настроенности про­цесса найдем при переходе в (15) от вероят­ностных характеристик m_х и σ_xк коэффициен­там η и Е.

. (20)

Вероятность того, что изделие окажется годным,

.

Для симметричных распределений в силу равенства F(-z) = 1 - F(z) вместо (20) можно написать

. (21)

Для закона Гаусса (21) принимает вид

.

Если область изменения случайной вели­чины Xограничена слева и справа (a≤ X≤ b), то доля брака или дефектных изделий, вышед­ших за границы поля допуска, определится в зависимости от взаимного расположения по­ля допуска 2δ и поля рассеяния 2∆. Харак­терны следующие случаи расположения полей:

1. Поле рассеяния размеров находится в границах поля допуска (рис 5, а). Этот слу­чай имеет место при х₀ - δ ≤ а; х₀ + δ ≥ а + 2l. Выражая эти неравенства через коэффициенты η точности и Е настроенности процесса, после преобразований получим

η (1 + a) ≤ 1 + E;

η(1 - a) ≤ 1 – E. (22)

В этом случае брак отсутствует: q₁ = q₂ = 0. Практически это означает, что выбрано из­лишне точное оборудование и можно, по-видимому, перейти на другие, несколько менее точные, но более производительные или более экономичные технологические процессы.

2. Поле рассеяния размеров выходит за ле­вую границу поля допуска; при этом q₁ ≠ 0, q₂ = 0 (рис. 5, в).

При соответствующих этому случаю соот­ношениях η и Е доля брака деталей в партии

. (23)

3. Поле рассеяния размеров выходит за правую границу поля допуска; при этом q₁ = 0, q₂ ≠ 0 (рис. 5, б) при этих условиях доля брака

. (24)

4. Поле рассеяния размеров выходит за обе границы поля допуска; при этом q₁ ≠ 0, q₂ ≠ 0 и одна часть деталей идет в брак испра­вимый, другая часть - в неисправимый (рис. 5, г)

Доля вероятного брака

. (25)

В производственных условиях данный слу­чай имеет место при низкой точности процес­са. Это значит, что заданный допуск жестче, чем позволяет оборудование и технологиче­ский процесс.

5. Поле рассеяния размеров лежит вне по­ля допуска, т. е. х₀ - δ ≥ а + 2l или х₀ + δ ≤ а. При этих условиях вероятность нахождения размеров в границах поля допуска равна ну­лю, и следовательно, все изделия будут соста­влять брак (q = 1) при выполнении неравенств

η (1 - a) ≤ - 1 - E или η (1 + a) ≤ - 1 + E. (26)

Полученные общие формулы (23) - (25) по­зволяют определить долю вероятного брака qпо известному закону распределения и за­данным его математическому ожиданию m_х и среднему квадратическому отклонению σ_х или коэффициентам η точности и Е настроен­ности технологического процесса.

Практический интерес представляет реше­ние обратной задачи: по заданным долям бра­ка q₁ и q₂ определить коэффициенты η точно­сти и Е настроенности процесса обработки.

Рассмотрим случай, когда область измене­ния случайной величины Xподчиняющейся закону распределения f(х), не является ограни­ченной ни слева, ни справа. Будем считать, что нам задан закон распределения f(x) суммарной погрешности х, но неизвестны его параметры: среднее значение m_х и среднее квадратическое отклонение σ_х. Тогда можно написать выраже­ния для неисправимого q₁ и исправимого q₂ брака при наружном обтачивании:

q₁ = F(x₀ - δ);

q₂ = 1 – F(x₀ + δ). (27)

Выражая величины q₁, и q₂ через F_z(z), получим

;

. (28)

Вводя обозначения нижнего и верхнего квантилей, отвечающих вероятностям Р₁ и Р₂, получим

;

. (29)

Уравнения (28) можно записать в виде

F_z(Z_P1) = P₁ = q₁;

F_z(Z_P2) = P₂ = 1 - q₂. (30)

Если известен нормированный инте­гральный закон распределения, то значения квантилей Z_P1 и Z_P2 находятся из (30).

Решив систему уравнений (29) относитель­но m_х и σ_x найдем

;

. (31)

На основании (18) и (19) с учетом (31) полу­чим выражения для определения коэффициен­тов точности технологического процесса

. (32)

и его настроенности

(33)

Разделение погрешности обработки на систе­матическую и случайную составляющие. В свя­зи с развитием систем автоматического упра­вления точностью технологических процессов важное значение приобретает задача разделе­ния суммарной погрешности обработки на си­стематическую и случайную составляющие. В зависимости от значения каждой из соста­вляющих погрешности выбирают тот или иной метод управления.

Задача разделения систематической и слу­чайной составляющих решается различными способами.

Рассмотрим дисперсионный метод разделе­ния суммарной погрешности обработки, для которого разработаны критерии оценки систе­матической и случайной составляющих по­грешности обработки.

Для условий изготовления партии деталей на настроенных станках токарного типа (авто­матах, полуавтоматах) суммарный закон рас­пределения погрешности размеров х партии деталей во всем заданном промежутке време­ни t (oт t= 0 до t= Т)

. (34)

где m_x(t) — функция, характеризующая измене­ния во времени систематических факторов (износ инструмента, тепловые и упругие дефор­мации системы и т. п.); σ_x(t) — функция, характеризующая изменение мгновенного по­ля рассеяния размеров, обусловленная зату­плением режущего инструмента, нестабиль­ностью режима обработки, колебаниями при­пуска и твердости материала заготовки и т. п. Начальные моменты первого и второго порядков суммарной погрешности, подчиняю­щиеся закону распределения (34), определяют по формулам

; (35)

. (36)

Используя (35) и (36), получим выражение для дисперсии суммарной погрешности:

. (37)

После преобразований получим оконча­тельное выражение для дисперсии суммарной погрешности обработки:

σ²{х} = σ²{m_x(t)} + σ² {σ_x(t)} + M² {σ_x(t)}, (38)

где

σ²{m_x(t)} = М {m_x²(t)} - M²{m_x(t)};

σ²{σ_x(t)} = M{σ_x²(t)} - M² {σ_x(t)}.

Из (38) следует, что общая дисперсия по­грешности обработки складывается из трех ча­стей: σ²{m_x(t)}, вызванной изменением функ­ции математического ожидания m_x(t), обусло­вленной влиянием систематических факторов; σ²{σ_x(t)}, вызванной изменением функции среднего квадратического отклонения σ_x(t), обусловленной влиянием случайных факторов, параметры рассеяния которых изменяются с течением времени; M²{σ_x(t)}, вызванной по­стоянной составляющей функции σ_x(t), обус­ловленной случайными факторами, параметры рассеяния которых не изменяются во времени.

Поделив обе части (38) на σ²{х}, получим

. (39)

Для характеристики доли систематической составляющей, вызванной изменением функ­ции m_x(t), количественной оценки доли случай­ной составляющей от изменения функции σ_x(t) и доли собственно случайной составляю­щей, вызванной постоянной составляющей функции σ_x(t), в общей погрешности обработки введем следующие показатели:

; (40)

; (41)

. (42)

Согласно (39) коэффициенты (40) - (42) удо­влетворяют соотношению

r_m² + r_σ² + r² = 1. (43)

В (43) левая часть представляет собой сум­му трех положительных величин, равную еди­нице. Следовательно, каждое слагаемое не мо­жет быть больше единицы, поэтому можно написать

0 ≤ r_m≤ 1, 0 ≤ r_σ≤ 1, 0 ≤ r≤ 1. (44)

Если r_m = 0, то σ²{m(t)} = 0, и следователь­но, отсутствует смещение уровня настройки, обусловленное влиянием систематических фак­торов (рис. 6,a,в). Равенство r_m = 0 является количественным признаком стабильности про­цесса по положению центра группирования. Случай r_m = 1 показывает строгую функциональную зависимость систематической по­грешности размеров х от времени t(рис. 6,б). Если r_σ= 0, то σ²{σ_x(t)} = 0, и отсутствует переменная составляющая функции σ_x(t), обус­ловленная влиянием случайных факторов, па­раметры рассеяния которых изменяются во времени (рис. 6,а,в,г). Условие r_σ = 0 свидетельствует о стабильности процесса по рассея­нию.

Если r = 1, то уровень настройки и поле рассеяния не изменяются во времени, т. е. m_x(t) = m_х = const; σ_x(t) = σ_x = const(рис. 6, а). Равенство r = 1 является количественным при­знаком стабильности процесса как по рассея­нию, так и по положению уровня центра группирования.

Рассмотрим пример расчета показателей r_m², r_σ² и r². Пусть уровень настройки техноло­гического процесса изменяется по степенному закону, а мгновенное рассеяние размеров остается постоянным (рис. 7):

m_x(t) = m₀ + 2l_m(t/T)^t/n;

σ_x(t) = σ₀ = const, n > 0, (45)

где m₀, σ₀ - параметры мгновенного гауссовского распределения в начальный момент времени t= 0; l_m- половина диапазона изме­нения функции m_х(t).

Показатели систематической и случайных составляющих погрешности обработки полу­чают следующие значения:

;

r_σ² = 0;

. (46)

где .

Графики семейства функций r_m²(λ_m = const, n), определяемых (46), показаны на рис. 8. Для этих функций характерно наличие мак­симума при n = (- 1)/2 ≈ 0,6. Практически это означает, что при значении n = (- 1)/2 доля систематической составляющей, вызванной изменением уровня настройки, в общей погрешности обработки будет наибольшей. Отсюда следует, что для приближенных расче­тов точности можно рассматривать изменение уровня настройки по линейной зависимости. В этом случае доля систематической соста­вляющей в общей погрешности обработки бу­дет мало отличаться от максимального значе­ния, но при этом выполнение точностных расчетов существенно упрощается.

Методы оценки детерминированности и не­линейности технологического процесса. Для оценки уровня точности процессов обработки используют критерии точности, настроенно­сти, стабильности и устойчивости. Большое значение имеет также определение детермини­рованности и нелинейности хода технологиче­ского процесса. Показатель степени детерми­нированности позволяет выявить систематические погрешности, найти их долю в общей погрешности обработки, получить меру опре­деленности процесса и исходя из этого обо­снованно подойти к решению задач прогнози­рования, контроля и управления точностью технологического процесса. Показатель степени нелинейности дает возможность оценить погрешность аппроксимации при замене нели­нейного изменения центра настройки линей­ной зависимостью.

Технологический процесс можно назвать детерминированным (регулярным), если ка­ждому значению времени tотвечает одно вполне определенное значение показателя х качества изделия. Это обычная схема чисто функциональной зависимости между пере­менными, когда показатель качества х являет­ся некоторой функцией от времени, т. е. х = f(t). Для детерминированного процесса можно точно предсказать значения показателя качества в данный или последующие моменты времени. Воздействуя на доминирующие факторы, вызывающие погрешность обработки, можно управлять точностью технологических процессов.

Для недетерминированного (нерегулярного) процесса показатель качества может прини­мать любые (априори неизвестно какие) значе­ния, и их невозможно предсказать по данным значениям t, от которых они зависят. В этом случае показатель качества определяется сово­купностью неконтролируемых факторов, и следовательно, управление точностью техно­логического процесса невозможно.

Фактически реальные процессы не являют­ся полностью детерминированными или нере­гулярными, т. е. изменение показателя каче­ства изделия во времени можно рассматри­вать как случайный (стохастический) процесс. Поэтому важно оценить количественную сте­пень детерминированности технологического процесса.

В качестве показателя для количественной характеристики степени детерминированности технологического процесса примем величину, определяемую выражением (40):

, (47)

где σ²{m_х(t)} — дисперсия, вызванная измене­нием функции математического ожидания m_x(t); σ²{х} - общая дисперсия погрешности обработки партии деталей. Для детерминиро­ванного процесса r_m² = 1, а для нерегулярного r_m² = 0. Действительно, согласно определению для детерминированного процесса имеет место точная функциональная зависимость по­грешности размеров от времени [т. е. σ_x(t) = 0], и таким образом, σ{х} = σ{m_x(t)}. Тог­да согласно (47) получим r_m = 1. Для нерегу­лярного процесса σ{m_x(t)}= 0 и следователь­но, r_m = 0.

Таким образом, показатель детерминиро­ванности может принимать значения от нуля до единицы (0 ≤ r_m≤ 1). Чем ближе r_m к едини­це, тем выше степень детерминированности процесса.

Функция математического ожидания m_x(t), характеризующая смещение во времени цен­тра настройки технологического процесса, в общем случае является нелинейной. Однако в практических расчетах удобно аппроксими­ровать ее линейной зависимостью. При этом важно определить погрешность аппроксима­ции (рис. 9).

Центр настройки процесса изменяется по некоторой кривой m_x(t) (рис. 9,а). Естественно считать нелинейностью кривой ее среднее квадратическое отклонение от некоторой прямой _x(t), для которой это отклонение будет на­именьшим. Тогда степень нелинейности сме­щения центра настройки

δ² = M{[m_x(t)-_x(t)]²}. (48)

Преобразуя (48) и используя уравнение линии регрессии

,

запишем (48) в виде

δ²=σ²{m_x(t)}-2p_xt(σ_x/σ_t)M{[m_x(t)-m_x][t-m_t]}+p_xt²(σ_x²/σ_t²)M{[t-m_t]²}; (49)

но

M{[m_x(t)-m_x][t-m_t]}=K_xt=p_xtσ_xσ_t;M{[t-m_t]²}=σ_t²

Поэтому вместо (49) можно написать

δ²=σ²{m_x(t)}-p_xt²σ_x². (50)

Эту формулу можно представить геометри­чески, как показано на рис. 9,6; при замене не­линейного изменения центра настройки линей­ной зависимостью общая дисперсия погреш­ности размеров σ_x² уменьшается на величину δ² и принимает значение, равное .

Разделив обе части (49) на σ_x², получим по­казатель относительной степени нелинейности технологического процесса

υ = δ²/σ² = r² – p², (51)

где

; , (52)

В некоторых случаях удобно рассматри­вать показатель относительной степени нели­нейности изменения центра настройки:

. (53)

Показатели vи θ относительной степени нелинейности технологического процесса мо­гут принимать значения oт нуля до единицы: 0 ≤ v≤ 1; 0 ≤ θ ≤ 1.

Для линейного изменения центра настрой­ки согласно определению δ = 0 и, следователь­но, r_m² = р². В этом случае, применяя (51) и (53), имеем v= 0, θ = 0. Чем ближе vк единице, тем выше степень нелинейности технологического процесса.

В качестве примера определим степень не­линейности технологического процесса при из­менении центра настройки по степенному за­кону и постоянном рассеянии. В этом случае функции математического ожидания m_x(t) и среднего квадратического отклонения σ_x(t) описываются (45). Для условий данного примера вычислим величины r_m и р, характери­зующие степень нелинейности хода процесса. Величина r_m определена ранее [см. (46)]. Для нахождения показателя р воспользуемся (52)

. (54)

Поскольку величина tраспределена равно­мерно в интервале (0, T), имеем

. (55)

Корреляционный момент, входящий в (54),

. (56)

Подставляя (55) и (56) в (54) и учитывая

;

получим коэффициент корреляции

,

или принимая во внимание, что

,

приходим к окончательному результату

. (57)

Подставляя вместо р² и r_m² их значения из (57) и (46) в (51) и (53), получим показатели v² и θ² относительной степени нелинейности тех­нологического процесса:

; (58)

. (59)

По формуле (59) были выполнены расчеты, результаты которых представлены на рис. 10.

Определение оптимального настроечного размера на обработку партии деталей. При обработке партии деталей под влиянием си­стематических и случайных погрешностей про­исходит смещение уровня настройки m_x(t) и увеличение мгновенного поля рассеяния ∆_x(t) (рис. 11). Эти изменения могут привести к выходу размеров деталей за границы поля допуска. С целью восстановления первоначаль­но установленной требуемой точности процес­са следует проводить подналадку технологиче­ской системы. Время между подналадками можно определить несколькими способами.

Рассмотрим определение периодичности подналадки станков по методу предельных от­клонений, используемое в тех случаях, когда заданы аналитически или установлены экспе­риментальным путем виды функции смещения уровня настройки и изменения мгновенного рассеяния: x = m_x(t), ∆ = ∆_x(t).

Так как мгновенное распределение разме­ров является почти всегда гауссовским, то ∆_x(t) = 3σ_x(t). При реализации метода пре­дельных отклонений требуется, чтобы вид функций m_x(t) и ∆_x(t) практически был одина­ковым для всех партий деталей. Кроме того, предполагается, что для момента проведения подналадки задана вероятность выхода кон­тролируемого размера за верхнюю или ниж­нюю границы поля допуска q= 0,0027.

На основании рис. 11 верхняя и нижняя границы мгновенного поля рассеяния разме­ров деталей соответственно

x_В(t) = m_x(t) + ∆_x(t); x_H(t) = m_x(t) - ∆_x(t).

Если функция x_B(t) принимает значение ≥ x₀ + δ, то размеры деталей выходят за верх­нюю границу поля допуска. В случае, когда размеры деталей выходят за нижнюю границу поля допуска, функция x_H(t) принимает значе­ния меньше х₀ - δ. Таким образом, момент подналадкиt_под в общем случае равен меньшему из значений t_в и t_н: t_под = min(t_В, t_H), где вели­чины t_B„ и t_Hопределяются из уравнений

x₀ + δ = m_x(t_B) + ∆x(t_B);

x₀ - δ = m_x(t_H) - ∆x(t_H).

Наладку станка следует выполнять таким образом, чтобы время t_под было как можно большим, т. е. чтобы реже осуществлять подналадку технологического процесса.

Рассмотрим случай, когда смещение уров­ня настройки описывается степенной функ­цией, aмгновенное рассеяние размеров остает­ся постоянным (рис. 12):

m_х(t) = m₀ + vt^1/n; ∆_x(t) = ∆₀ = const. (60)

Так как в данном случае центр рассеяния смещается к верхней границе поля допуска, то время работы станка без подналадкиt_под, определяется из уравнения

x₀ + δ= m₀ + vt_под^1/n + ∆₀,

откуда

. (61)

Определим значение m₀*, соответствующее оптимальному начальному положению уровня настройки, при котором величина tбудет наибольшей. По определению m₀₁ ≤ m₀ ≤ m₀₂, где

m₀₁ = х₀–δ +∆₀; m₀₂ = х₀ + δ – ∆₀. (62)

Непрерывная функция принимает наиболь­шее значение или в точках экстремума, или на концах интервала. Функция t(m₀) в (61) может иметь экстремум только в точке m₀ = m₀₂ и равняется в этой точке нулю. Значит она принимает наибольшее значение на другом конце промежутка, в точке m₀* = m_01.

. (63)

Аналогичным образом можно показать, что (63) будет справедливой и в случае, если уровень настройки смещается к нижней грани­це поля допуска.