Математические модели при автоматизированном проектировании технологических процессов

Под математической моделью технологи­ческого процесса и его элементов понимают систему математических соотношений, описы­вающих с требуемой точностью изучаемый объект и его поведение в производственных условиях. При построении математических мо­делей используют различные математические средства описания объекта — теорию множеств, теорию графов, теорию вероятностей, матема­тическую логику, математическое програм­мирование, дифференциальные или интеграль­ные уравнения и др.

Описание математических соотношений на уровнях структурных, логических и количе­ственных свойств принимает конкретные формы в условиях определенного объекта. На­пример, множество параметров, влияющих на выбор скорости резания при различных мето­дах обработки, можно представить  в  виде

M_v = {T_и, m, t, s, d, В, с_v, k_v, х_v, у_v, z_v, r_v},     (13)

где T_и — стойкость инструмента, мин; m — по­казатель относительной стойкости инструмен­та; t — глубина резания, мм; s — подача, мм/об (мм/зуб, мм/дв. ход, мм/мин); d — диаметр обрабатываемой поверхности или диаметр ин­струмента; В - ширина обрабатываемой по­верхности, мм; с_v — коэффициент, характеризующий условия обработки; k_v - поправочный коэффициент на скорость резания; х_v, у_v, z_v, r_v — показатели степени.

Логические соотношения между приве­денными выше параметрами и скоростью ре­зания v имеют вид

,     (14)

причем Т_и, m, с_v и k_v всегда истинны, а ис­тинные значения других переменных зависят от метода обработки резанием.

Формулы количественных соотношений ме­жду параметрами с учетом истинности их логических значений имеют вид:

при наружном точении

;     (15)

при сверлении

     (16)

и т. д. Следовательно, формулы (13)—(16) представляют математические модели расчета скорости резания на различных уровнях аб­страгирования.

К математическим моделям предъявляют требования высокой точности, экономичности и универсальности. Экономичность матема­тических моделей определяема затратами машинного времени (работы ЭВМ). Сте­пень универсальности математических моде­лей определяется возможностью их использо­вания для анализа большего числа технологи­ческих процессов и их элементов. Требования к точности, экономичности и степени универ­сальности математических моделей противо­речивы. Поэтому необходимо иметь удачное компромиссное решение.

При технологическом проектировании на различных уровнях абстрагирования исполь­зуют структурные, структурно-логические мо­дели или теоретические модели.

Структурные или структурно-логические модели согласно ГОСТ 14.416 — 83 подразде­ляются на табличные, сетевые и перестано­вочные, которые определяются строками буле­вой матрицы:

,     (17)

где S_i — свойства моделей, влияющих на со­держание проектирования; F(S) — набор свойств; F_G — набор свойств, если все графы объектов A_k, проектируемых по данной моде­ли, суть простые пути или цепи F_G = 1 и F_G = 0 в противном случае; F_n — набор свойств, учитывающих число элементов во всех ва­риантах объектов А_k (F_n — 1 — число элемен­тов а_i одинаково, F_n = 0 в противном случае); F_λ — набор свойств, учитывающих отношение между любыми элементами объекта а_ia_j€А_k во всех вариантах объектов А_k (F_λ = 1 отношение не меняется, F_λ=0 —в противном случае); F_a — набор свойств, учитывающих состав эле­ментов а_i в А_k (F_a = 1 — состав одинаков, F_а = 0 в противном случае).

В матрице (17) модели класса S₁ называют табличными. В табличной модели каждому набору свойств F(A_k) соответствует един­ственный вариант проектируемого объекта А_к. Поэтому табличные модели используют для поиска стандартных, типовых или готовых проектных решений. Модели остальных классов применяют для получения типовых унифи­цированных и индивидуальных проектных ре­шений при наличии их вариантов и необходи­мости оптимизации решения. Модели классов S₂, S₅, S₇, S₈ и S₁₁ называют сетевыми. Структура элементов сетевой модели описы­вается ориентированным графом, не имею­щим ориентированных циклов. В этой модели может содержаться несколько вариантов про­ектируемого объекта А_k, однако во всех ва­риантах сохраняется неизменным соотношение порядка между входящими элементами. Моде­ли классов S₃, S₄, S₆, S₉, S₁₀ и S₁₂ называют перестановочными. Соотношение порядка между элементами проектируемого объекта А_k в перестановочных объектах обычно задается с помощью графа, содержащего ориентиро­вочные циклы, причем все варианты объектов А_k, проектируемые по перестановочным моде­лям, различаются порядком между элемента­ми, входящими в них.

Объектом проектирования А_k может быть технологический процесс, операция или техно­логический переход

Если рассматривать технологический про­цесс в качестве объекта проектирования, то операции будут элементами. При проектиро­вании операции элементами будут технологи­ческие переходы.

Если А_k должен содержать фиксированный набор элементов a_i€A, то ; если А_k может содержать любой элемент a_i€A, то ; а если какой-либо единственный элемент a_i€A, то . Ниже приведены табличная, сетевая и переста­новочная модели.

При обработке группы деталей (рис. 13, а) на токарном прутковом автомате с помощью табличной модели устанавливается последова­тельность обработки поверхностей. Каждая деталь имеет поверхности F₁, F₂,...,F₈ с определенными свойствами, поэтому состав свойств поверхностей, относящихся к группе деталей, будет

.     (18)

Если ввести совокупность свойств более высо­кого уровня: F₁^’ = {F₁, F₂, F₄, F₈}, то получим

,     (19)

а если совокупности свойств для деталей 1-, 2-, 3-й групп (соответственно элементам а₁, а₂, а₃ группы А деталей, т.е. a₁, а₂, а₃€А) F₁″= F(a₁) = {F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, F₆, F₇, F₈}; F₂" = F(a₂) = {F₁, F₂, F₃, F₄, F₇, F₈}; F₃" = F(a₃) = {F₁, F₂, F₄, F₈}, то получим

.     (20)

Табличные модели представляют матрицы (рис. 13,б и в), в которых τ₁, τ₂, τ₃,...,τ₈ - операторы (технологические пере­ходы при выполнении автоматной операции).

Сетевая модель включает матрицу свойств детали, описание логических отношений ме­жду свойствами и граф G = (Т, С) взаимосвязи операторов (Т={τ₁, τ₂,...,τ_n}; C = {C₁, С₂,..., С_m} - дуги графа) по возможной по­следовательности их использования. Напри­мер, в логической сетевой модели класса S₅(T) изготовление зубчатого колеса (рис. 14), смежность и порядок операторов (операций) заданы графом.

Проектирование технологического процес­са изготовления изделия характеризуется раз­личными уровнями: самый высокий уро­вень — разработка принципиальной схемы тех­нологического процесса, который включает отдельные этапы, причем этап может содер­жать несколько операций или одну операцию. В данном случае оператором будет являться этап технологического процесса. Моделирова­ние технологических процессов разного уровня происходит с помощью моделей S_i(T), При этом операторам модели S_i(T) более высокого уровня - этапам технологического процесса, соответствуют операции и переходы, входя­щие соответственно в маршрут и операцию, проектируемые по моделям S_j(T) более низкого уровня.

Граф перестановочной модели класса S₆(Т) расцеховки при изготовлении изделия приве­ден на рис. 15.

Теоретические модели строят на основании изучения закономерностей. В отличие от фор­мальных моделей они в большинстве случаев более универсальны и справедливы для широ­ких диапазонов изменения технологических параметров. Теоретические модели могут быть линейными и нелинейными, а в зависи­мости от мощности множества значений пере­менных модели делят на непрерывные и ди­скретные. При технологическом проектирова­нии наиболее распространены дискретные мо­дели, переменные которых дискретные вели­чины, а множество решений счетно. Разли­чают также модели динамические и статиче­ские. В большинстве случаев проектирования технологических процессов используют стати­ческие модели, уравнения которых не учиты­вают инерционность процессов в объекте.

Выбор типа математического моделирова­ния, наиболее эффективного в условиях конкретной задачи, определяется ее технологиче­ской сущностью, формой представления ис­ходной технологической информации, общей целью исследования. Математическая модель процесса в общем виде

F = f(x,y).

где х — управляемые переменные; у — неупра­вляемые переменные; F — ожидаемая эффек­тивность.

Ограничения, входящие в модель, имеют вид φ(х, у) = 0. Решения на модели получают­ся путем определения значения х (как функции от у), максимизирующего (минимизирую­щего) F.

В зависимости от сложности задачи ис­пользуются различные принципы построения моделей. Зачастую возникает необходимость разработки менее точной модели, но тем не менее более полезной для практики. Возни­кают две задачи: с одной стороны, — нужно разработать модель, на которой проще всего получать численное решение, а с другой сто­роны,— обеспечить максимально возможную точность модели. С целью упрощения модели используются такие приемы, как исключение переменных, изменение характера переменных, изменение функциональных соотношений ме­жду переменными (например, линейная ап­проксимация), изменение ограничений (их мо­дификация, постепенный ввод ограничений в условие задачи). Модели, являясь эффек­тивным средством исследования структуры за­дачи, позволяют обнаружить принципиально новые стратегии.