Параметрическая оптимизация

Расчет оптимальных параметров (режимов резания, параметров качества и др.) технологи­ческого процесса или операции при заданной структуре с позиции некоторого критерия на­зывают параметрической оптимизацией, кото­рая предусматривает определение таких значе­ний параметров х, при которых некоторая функция F(x), называемая целевой функцией, или функцией эффективности (например, приведенные затраты, технологическая себе­стоимость, штучное время, штучная произво­дительность, технологическая производитель­ность, вспомогательное время и др.), прини­мает экстремальное значение.

Для решения задач оптимизации в техно­логическом проектировании используют мате­матические модели и такие методы математи­ческого программирования, как линейное, це­лочисленное, динамическое, геометрическое и др.

В технологическом проектировании опера­ционные модели, описанные методами математического программирования, записывают в следующем виде:

          (21)

где все управляемые х_i могут принимать зна­чения из множества [а_1i, a_2i] действительных чисел; F(x) и g_j(х) — скалярные функции своих аргументов; b_j — заданные действительные функции.

Задачи подобного типа в технологии ма­шиностроения возникают при определении оптимальных режимов обработки. В этом случае могут быть использованы методы ли­нейного и нелинейного программирования.

Применение метода линейного программи­рования вызывает трудности, связанные с ли­нейностью критерия оптимальности и ограни­чений. Например, при назначении плана черно­вой обработки поверхности заготовки должны быть учтены ограничения, связанные с техни­ческими данными оборудования, характери­стиками режущего инструмента, размерами детали и др. Эти ограничения выражаются через параметры переходов (рабочих хо­дов) — режимы резания (t — глубина резания, s — подача, v — скорость резания) и соответ­ствующие величины, характеризующие усло­вия обработки (мощность привода оборудова­ния; допустимая сила, действующая на меха­низм подачи станка; прочность и стойкость режущего инструмента; допустимое перемеще­ние заготовки под действием сил резания),

      (22)

Для согласования значений подачи s и ча­стот вращения шпинделя n с паспортными данными оборудования используют коэффи­циенты геометрических рядов подач (φ_s) и ча­стот вращения шпинделя (φ_п):

      (23)

Лучшему варианту плана обработки будут соответствовать минимальные затраты

     (24)

где С_i - затраты на выполнение перехода (ра­бочего хода); р - число переходов (рабочих ходов).

Путем логарифмирования ограничений (22) и целевой функции (24), связанных с одним переходом (рабочим ходом), получают линей­ную задачу Z = k₀ + k₁x₁ + k₂x₂ +k₃х₃ → min при ограничениях ≤b_i; i = 1, n, где x₁ = lnt; x₂ = z_s; x₃ = z_n; t, s — соответ­ственно глубина резания и подача при рассматриваемом переходе; a_ij — коэффициенты, за­висящие от показателей степени при глубине резания, подачи и скорости резания в форму­лах сил и скорости резания, а также от коэф­фициентов геометрических рядов подач и ча­стот вращения шпинделя; k₀,...,k₃, b_i — коэффициенты и величины ограничений, зависящие от конкретных условий обработки. Одним из возможных методов решения широкого класса нелинейных задач является метод геометрического программирования, который позволяет рассматривать задачи с учетом особенностей их инженерной поста­новки. Основное требование геометрического программирования состоит в том, чтобы все технические характеристики были выражены в виде положительных полиномов (позиномы) от регулируемых параметров, т, е. в виде функций

где c_i и a_ij — постоянные; с ≥ 0; x_j > 0.

Во многих технологических задачах зависи­мости между параметрами приводят к функ­циям типа позиномов. Так, при построении операций при врезном шлифовании на одно- и многокруговых шлифовальных полуавтоматах ставилась задача выбора режимов обра­ботки, которые обеспечивают минимальное время обработки при достижении заданной точности. С учетом ограничений по сум­марным значениям радиальных сил, по сум­марной мощности, необходимой для резания, и ограничения, обеспечивающего размерную стойкость круга при черновой обработке, фор­мулируется следующая задача геометрического программирования:

      (25)

где x₁=s_j — подача; х₂=n_i — частота враще­ния заготовки; переменная х₃ носит вспомога­тельный характер. Геометрическое програм­мирование более чем другие методы нелиней­ного программирования приспособлено для использования ЭВМ. В процессе решения по­является возможность анализировать поведе­ние целевой функции g₀() при изменении раз­личных параметров, входящих в задачу.

Для математической оптимизации может быть использован метод динамического про­граммирования, который сводится к рекур­рентным соотношениям [например, распреде­ление припуска по технологическим перехо­дам, см. формулу (10)]. Динамическое про­граммирование является вычислительным ме­тодом, приводящим к глобальному оптимуму.

Используют также различные методы по­иска, исключающие полный перебор (напри­мер, регулярного поиска для определения оптимальных режимов резания при обработке ступенчатых валов на токарном гидрокопиро­вальном полуавтомате). Задают исходные данные (размеры и материал детали, режущий инструмент, глубину резания, жесткость узлов станка, цикловые и внецикловые потери вре­мени работы оборудования). Требуется найти режим обработки s_jn_i, удовлетворяющий усло­виям по точности обработки, шероховатости поверхности, мощности, расходуемой на реза­ние, кинематике станка и приводящий целевую функцию к максимуму.

 

где δ_f - заданный допуск на диаметр ступени f; ΔΣ_f — ожидаемая суммарная погрешность; Δ_у, Δ_и - составляющие суммарной погрешно­сти; k₁, k₂ — экспериментальные коэффи­циенты; N_д — мощность   электродвигателя; k_п — коэффициент перегрузки электродвигате­ля; η = КПД; q + 1 и q - индексы резцов, установленные соответственно на гидрокопи­ровальном и поперечном суппортах; k — тех­нологическая производительность; t_x — время на холостые перемещения инструмента; ΣC_i — потери времени, связанные с эксплуата­цией режущего инструмента; t_в — внецикловые потери времени.

Ограничения (26) определяют возможные варианты обработки деталей. Для каждой обрабатываемой поверхности детали имеется набор возможных сочетаний s_j и n_i выбор ко­торых обусловлен приведенными выше огра­ничениями. Множество допустимых для f-й поверхности детали пар (s_j, n_i) обозначают R_f = {(s_jn_i)^f}, где f = 1, k.

Возможный вариант обработки детали в целом может быть реализован с параметра­ми s_j, n_i, принадлежащими всем множествам R_f, т. е. область R их пересечения (рис. 16, а). Для начала перебора находят один допустимый режим (s_j0, n_i0) и двигаясь от него вдоль границы области пересечения (рис. 16,б), определяют оптимальный режим s_joп, n_iоп приводящий целевую функцию (27) к максиму­му.

Влияние ограничений на значение целевой функции и область допустимых решений зада­чи будет различным. Например, анализ результатов моделирования операции обработки на токарных гидрокопировальных полуавто­матах показал, что изменение заданного до­пуска на диаметр δ_f ступени вала влияет на значение целевой функции Q (рис. 17, а) и число возможных вариантов обработки (рис. 17, б).

При параметрической оптимизации мате­матические модели оценивают с точки зрения пригодности их использования для решения технологических задач в производственных ус­ловиях. Их оценивают с помощью статистиче­ского анализа путем: 1) сравнения двух мето­дов решения конкретной технологической за­дачи - математического моделирования и ис­пользования нормативных данных; при этом проверяют гипотезу соответствия значений двух выборок; 2) проверки математической модели на чувствительность влияния слу­чайных факторов; 3) проверки математиче­ской модели на ее адекватность реальному технологическому процессу.